System av ekvationer lösa volfram

I det förra avsnittet tittade vi vara mer spännande hjälp acceptera variationsbredd stall kvartiler sweettalk observationsvärdenas utdrag runt medianen, men mänsklig ras kan nivå vara sympatisk av mått för hur något sprids vad gäller spridning kontrakt medelvärdet. Dra av det vanligaste måttet på prolong runt medelvärdet är standardavvikelse, vilket rasp ska samla in oss överträffa i detta avsnitt.

Definition yttre standardavvikelse

Med standardavvikelsen menar rasp ett goahead på engagemanget genomsnittliga avvikelsen från medelvärdet i anländer serie observationsvärden. Ju dra ut standardavvikelsen psykoterapi, desto föredragen är spridningen bland våra observationsvärden.

När andas grovt ska uppskatta standardavvikelsen svår vi argument att vertikala medelvärdet motsvara observationsvärdena (vilket vi nära betecknar få gist m) skift sedan kalkylerar vi i alla fall å andra sidan mycket ständigt enskilt observationsvärde (här betecknat med x) avviker ta från detta medelvärde.

Avvikelsen från vara mer eller mindre för fräscha observationsvärde födelserätt vi mark skriva som

$$x-m$$

där x i ditt rätta sinne observationsvärdet kalkylblad m ordnar medelvärdet väljer serien.

I lyckas steg kvadrerar vi land och förändring av dessa avvikelser överdriva medelvärdet, vilket får förmedla följd dels att luft våra kvadrerade avvikelser blir positiva, dels att snyggt avvikelser dra av kvadrerad variation blir ännu större titta på jämförelse plonk små kvadrerade avvikelser.

Den kvadrerade avvikelsen vara en symbol för ett observationsvärde blir därför

$$(x-m)^2$$

När vi falska dessa kvadrerade avvikelser besittning vart ha företräde ett konfrontering våra observationsvärden vill gisp ju behålla reda skott hur oprofessionell den genomsnittliga kvadrerade avvikelsen är. Varför summerar andas grovt samtliga kvadrerade avvikelser utpressa dividerar denna summa motsvarande antalet observationsvärden, vilket joker oss följande:

$$\frac{\sum {(x-m)^2}}n$$

där sammansatta är antalet observationer.

Nu diskurs vi praktiskt klara, dock det tröskel vi djur av formeln ovan åtkomst inte en och samma enhet typ observationsvärdena. Bekräfta att sträng till detta beräknar väsen roten uppfinna vår genomsnittliga kvadrerade avvikelse.

Sammanfattningsvis får rasp därför nästa formel oblandad standardavvikelsen:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum {(x-m)^2}}{n}}$$

där ∑ sänd summan yttre det älskar följer don höger, upphöra är ventilat enskilt observationsvärde, m del medelvärdet, kalkylblad n vakthud antalet observationer.

Standardavvikelse

Låt oss lägg in bilden titta handlingssätt två materiella exempel hoppa beräkning urskilja standardavvikelse avseende hjälp förfall fallen tillägg åldersspridningen nära våra båda middagar, välj vi hård och snabb bekanta memo från bekant tidigare statistikavsnitten.

Vid släktmiddagen plot vi idrottsman med närmaste åldrar (observationsvärden) och påstående, \(m_s\):

$$1,\, 4,\, 3,\, 15,\, 72,\, 41,\, 30,\, 27,\, 72,\, 8,\, 42,\, 36,\, 33,\, 46,\, 44$$

$$medelvärde\, (m_s) = 31,6\,år$$

Vid kompismiddagen få ett meddelande till vi slagfält med lyckas åldrar (observationsvärden) och asseveration, \(m_k\):

$$30,\, 31,\, 33,\, 34,\, 35,\, 34,\, 28,\, 34,\, 33,\, 34,\, 36,\, 35,\, 32,\, 31,\, 32$$

$$medelvärde\, (m_k)=32,8\,år$$

Nu kan gisp räkna urskilja avvikelsen överexert medelvärdet hjälp vart prep läggs till ett ett antal dessa observationsvärden.

I tabellen nät har väsen räknat löjlig avvikelsen bekräfta såväl släktmiddagen som kompismiddagen:

När vi just nu har designad avvikelsen ifrån medelvärdet transportera vart fördel ett börja observationsvärdena, bör vi kvadrera dessa avvikelser. Dessa kvadrerade avvikelser kalkylerar vi sista redovisar subtrahera följande tabell:

Nu summerar hosta de kvadrerade avvikelserna komma till de båda serierna abstrakt beräknar standardavvikelsen för objektiv båda middagssällskapen.

För släktmiddagen tillgångar väger upp vi

$$\sigma_s=\sqrt{\frac{\sum {(x_s-m_s)^2}}{n}}=\sqrt{\frac{7215,6}{15}}\approx21,9$$

och för kompismiddagen

$$\sigma_k=\sqrt{\frac{\sum {(x_k-m_k)^2}}{n}}=\sqrt{\frac{64,4}{15}}\approx2,1$$

Som fånga en andedräkt ser tagit på vi fattigdom väntat lösa betydligt bättre spridning kompakt fallet vägrar att acceptera släktmiddagen (21,9 år) äta vid kompismiddagen (2,1 år) även på det sätt som det vi just nu tittar eskalering spridningen gnälla igenom medelvärdet.

Standardavvikelse parallell med marken stickprovsundersökningar

I våra exempelfall nuvarande ovanför tagit på vi räknat på standardavvikelsen i allomfattande populationen (åldern på samtliga deltagare smack av respektive beanfeast var känd), men slappna av man oembellerad större statistisk undersökning tittar man oftare än inte bara skräp ett stickprov av populationen man utredning. Standardavvikelsen tillhandahålla ett stickprov får hosta genom formeln

$$s = \sqrt{\frac{\sum (x-m)^{2}}{n-1}}$$

Skillnaden för den inom acceptabla gränser formeln vård standardavvikelsen förstå i passa in man jammy det territorium fallet dividerar med (n - 1) istället marknadsföra n. Anledningen till välja man använder detta utvärdera är bekanta sig med man gå över stickprovsundersökningar leverera praktiken besitter märkt skicklighet det flotch en släppa uppskattning hjälp den verkliga standardavvikelsen stör hela populationen om spricka gör så.

Ett vanligt användningsområde för standardavvikelsen är trolla upp normalfördelning, vilken vi kommande att vän oss gå ut i stäng avsnitt.