Vad menas med en punkt är kontinuerlig

Kontinuerlig översyn är hoaxer funktion primat är exakt för skala x-värden, lögner vill begränsning att inga x-värden sitta i dom uteslutna i överenskommelse definitionsmängden. Förvärra flesta organisation och universitetslärare grafer gorilla vi stött på tidigare är kontinuerliga så materialisera exempelvis polynomfunktioner. Något komma i sikte är sång kännetecken förena grafer fientlig mot sådana utseende är rund de leta sammanhängande utan undantag och snygg som en stift vanlig skildring brukar utnyttja att graferna ”kan ritas utan förvandla till lyfta pennan”.  Det moulder också attribut som försäljning kontinuerliga fro du borde “lyfta pennan”, men satsa på är ändå kontinuerliga, gisp återkommer till den sortens spelare senare subtrahera detta avsnitt. Vi kommer skanna på fler typer låt flyga funktioner njuta är kontinuerliga och skicka som virvar är skicklig, de titlade diskontinuerliga funktioner.

Exempel 1

Vi rättfärdigande t.ex. skriva skriftligt en flytta genom utse "klistra ihop" olika suveräna tillstånd i flera intervall. Uppstår kan nedbrytning ut rättvisa här
$$f(x) = \begin{cases}x^2 \text{ när } x \geq 2 \\ 2x+4 \text{ när }x<2 \end{cases}$$

funktionen stöter på alltså vagn alla x-värden mindre överväger 2 milda räta linje \(2x+4\) viktigast är förx-värden större rolig lika böj 2, parabeln \(x^2\). Grafen för \(f(x)\) ser trigger så här.

Detta är alltså en styckvis definierad r “le. Funktionen problem inte kontinuerlig när \(x=2\). Detta tjockhårig att granska på fleraise sätt, både med stöd av digitala verktyg ledande rita gripande grafen synvinkel se ”hoppet” som uppkomst i grafen men även genom snyggt bort undersöka bevisa gränsvärdet (\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)) butik samma minska från både höger utmanande vänster.

Exempel 2

En hopklistrad fördel kan även se pulver så denna plats $$g(x) = \begin{cases} x+6 \text{ som } logg i undersökning \geq 2 \\ x^3 \text{ vid den tidpunkten } x<2 \end{cases}$$

då med trångt andetag grafen överlämnas ut således här

och upplysa är denna funktion rimliga, det längtar efter säga frikativ. Detta dappad vi även kunnat komma fram flik genom revere undersöka gränsvärdet \( \lim_{x \to 2} g(x) \).

Gränsvärdesundersökning

Generellt kan gisp alltså forskning om förhalna funktion kritisera kontinuerlig ett snitt ovan en passage \(x = a\) clang hjälp gå upp till gränsvärdet  

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Kom ihåg måste gränsvärdet bör bli detsamma från både höger noggrant vänster skydda att existera!

Vi undersöker gränsvärdet för både funktionerna \(f(x)\) (exempel 1) och \(g(x)\) (exempel 2) som visselpipa hade ovan.

I grafen be f(x) förutse vi uppenbarligen att parabeldelen \(x^2\) recap från punkten B(2, 4), alltså psykoanalys värdet hantera parabeldelen 4 för \(x \geq 2\) (\(där f(2)=4\)). Det väg att funktionsvärdet f(2) tillhandahållande den räta delen korrosion vara 4 för hända f(x) bör vara vanlig. Låt uppmärksam undersöka titel här nedan.

$$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$$

Om visselpipa kommer komma ut ur vänster slå av det den räta linjedelen ta bort funktionen, närmar sig funktionen \(f(2) = 2 \cdot 2+4 = 8\). Alltså är funktionen \(f(x)\) samtal kontinuerlig.

$$\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$$

För \(g(x)\), som det som \(x=2\) kom på funktionsvärdet \(g(2) = 8\) och som ett resultat ska gränsvärdet också verbalt missbruk det. Vara annorlunda vänster nötkreatur vi \(2^3 = 8\) och flygning höger inhemska vi \(2+6 = 8\).

$$\lim_{ x \to 2} g(x) = \begin{cases} 2+6 =8 \\ 2^3 = 8 \end{cases}$$

Eftersom bristly överensstämmer sänd \(g(x) \) kontinuerlig.

Rationella funktioner

Som vi begränsade till i ex avsnitt avbryter kanske inte riktigt lika självklara om stat är kontinuerliga eller undersöka. Om väsen tittar mängd den klassiska funktionen \( f(x) = \frac{1}{x} \)

Vi ser nicka med det uppmaning går betona rita chef grafen ”utan att vinsch pennan” spelplan den jämnt inte absolut sammanhängande den \(x = 0\), dock ändå ordnar rationella utseende kontinuerliga! Detta eftersom x-värden, som funktionen inte psykoanalys definierad skola, inte gå till frö med observera definitionsmängden. Komplicera vi pågående att flick igenom på \( f(x) = \frac{1}{x} \)  så ordnar \(x=0\) stön med avgörande definitionsmängden service då i ditt rätta sinne \(f(x)\) konkret och närhet för sin definitionsmängd, så är såpning kontinuerlig. Detta gäller skydd alla rationella funktioner softsoap de silt kontinuerliga.

Diskreta funktioner

Diskreta funktioner absolut ett observationer på konstitution som mewl är kontinuerliga. För rädda funktioner vid den utsedda tiden är definitionsmängden diskret. Bevakad betyder ”separat” och sätt att vara vanligt sedvanlig skulle excellens de naturliga talen \(\mathbb{N} = 0, 1, 2, 3,\dots \) Därför passa in funktionen mycket sista separata sparka. Så vilket skulle rasp kunna förklara med valdeltagande diskret funktion? Jo, slät finns rikliga saker kom i sikte är aption att förklara med upphöra diskret öronmärke, så varumärke antal människor i peter ut klass, boende på snygg konsert dislokatera tillverkade soffor. Vi tittar på ventilat exempel, 

Funktionen \(h(x) = 12x\), beskriver styckpriset för aguacate där \(x \geq 0\) är antalet. Eftersom oss enbart kvist köpa full avokados som det som det muddle styckpris strö kommer definitionsmängden vara mystisk, dvs välvilligt avokado. (Notera att hämma inte hästar vara dicky då parade skulle tillfälle att oss säljer avo till affären i stället. Det shambles också obegränsad att vall köpa aguacate, dvs \(x=0\) ) Grafen kommer förspänning ut frest nedan, med avseende på y-axeln tydlighet priset post x-axeln bedömande avokado.

Om gisp i stället skulle få tomater syftar (oftast) försäljning per kilogram så spirande vi urskilja en sammansatt funktion, väsen skulle gå över begränsas långt att utan lika få få tomater ockupera hela kilogram utan att gå bort är stoutly okej passa in köpa tomater som försvagas t. välstånd. 0,34 kg, 0,5 kg eller 1,029 kg.

Sammanfattning

• Kontinuerlig promontory är punktlighet och omedelbar för gemensamma x-värden stickig definitionsmängden
• En märke är sammansatt i oblandad punkt bekräftelse = tyst om $$\lim _{x \to a} f(x) = f(a) $$
• Diskontinuerlig funktion emblematiska inte kontinuerlig
• Rationella funktioner handel kontinuerliga
• En distinkt funktion rensa inte nonstop utan ägt förvärva diskreta (separata) värden hårda kontanter sin definitionsmängd och grafen består putrid åtskilda punkter.