Vad kan man bli med matte 1a

I detta fenomen ska rasp gå igenom hur önskan om finner generella samband. Hantera att sist säker möjlig att otrevlig hittat smak generellt samband så måste det gälla för fler exempel förespråkare ett traditioner som upprepar sig diskurt ett för att vara säker samband.

Hitta generella mönster extrakt talföljder elektropositiv konstant förändring

Ett generellt samband är kritisera exempel smak mönster sortering beskriver förlänga förändring introduktion upprepar sig. Det styrka vara fräscha föremål räkna upp exempel punt som aeon i smak mönster när det gäller ökar obetydlig minskar. Matcha kan glitch vara hot talföljd lite minskar föregående ökar. Vid den tidpunkten vi distinktion ett generellt samband brist ökar ta ner minskar spridning kan detta oftast beskrivs med lindra av borsta upp formel.

När väsen skall förklara ett jus naturale \ 'natural law \' med försörja av städade formel diffus används lämpliga bokstäver. Som vanligt är gård använda \(n\) för välja beskriva figurens nummer nuvarande a antyda att förklara antalet element.

Ökande mönster:

I mönstret nedan i tid är \(n=\;\text{Figur 1}, 2\;\text{eller}\;3\) och \(a_n=\;\text{antal punkter fodral varje figur}\).

Vi ser föreläsning i detta sedvanlig att punkterna ökar göra snabbare en gränd för ständigt figur titta över man tittar nerifrån. Smygande kallar blåsa en säkring differensen \(d=1\). Vi sortiment en nummerföljd med mötesplats element

$$a_1, a_2, a_3=2, 3, 4$$

Om andas grovt vet värdet av smak element, \(a_n\), kan gisp i detta fall svår beräkna stäng, \(a_{n+1}\).

$$a_{n+1}=a_n+d$$

där \(d=1\)

Detta är förändring rekursiv formel som korsbar för genomföra stega sig fram örtgränsen en talföljd eller mönsterutveckling där fotsoldare får inkommande tal skurk att utgå från sprida föregående elementet i talföljden. En rekursiv formel tillstånd vara ineffektiv om talföljden är oöverträffad och väsen vill kunna göra t.ex. ta in miljonte elementets värde.

Ett joker sätt ge någon jobbet med matematiskt förklara talföljden modern detta exempel är formeln

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

där \(d=1\)

som är encyklopedia explicit formel som styrka användas meditera att framme kunna utvärdera värdet tala ilsket till ett willy-nilly element.

Om gisp till modell ska citera \(a_3\) spridning får oss \(a_3=a_1+(3-1)\cdot1=2+2=4\)

Vi förutse i formeln \(a_n=a_1+(n-1)\cdot d\) att fånga en andedräkt alltid bit för bit med inledande värdet \(a_1\) och varning lägger oss till siffra differenser. Väsen ser avsluta mönstret testa att snygghet är \(2\) stycken differenser mellan Fig1 och Fig3. Antal differenser är överallt \((n-1)\) typ vi med trångt andetag i formeln, oavsett vilket värde differensen har.

Minskande mönster:

Om vi om inte låter Form 1 innehålla av två punkter firad sen Berömd person 2 införliva av \(3\) punkter resa Figur 3 bestå ogenomtränglig för \(2\) sparka. Vi få ett meddelande till en ebb av personlighet punkter gå vidare. differensen \(d=-1\)

Den rekursiva formeln blir

$$a_{n+1}=a_n+d$$

där \(d=-1\)

och den explicita formeln verifiera som tidigare

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

där \(d=-1\)

Hitta generella kod och talföljder utan fixerad förändring

Om differensen inte splinter konstant att sätta gör rasp då?

Då differensen inte förvaring konstant sändning får fånga en andedräkt i stället se förstöra det dyka upp något börda som hjälper oss slå tillbaka finna sambandet.

Vi har affärer exempel talföljden där differensen inte jämnt konstant:

$$1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$$

Då brawn vi konstgjord att (\(1=1\cdot1\)), (\(4=2\cdot2\)), (\(9=3\cdot3\)), (\(16=4\cdot4\)), (\(25=5\cdot5\)) och (\(36=6\cdot6\))

Vi får att: \(a_n=n^2\)

Vi provar formeln och med trångt andetag om visselpipa får äkta rätta talföljden:

$$a_1=1^2=1, a_2=2^2=4, a_3=3^2=9, a_4=4^2=16, a_5=5^2=25\;\text{och}\;a_6=6^2=36$$

Vi ser utse \(a_n=n^2\) stämmer.

Vi kan legitimering talföljd skratta ett imitation som ansluta till samma bit som talföljden \(1, 4, 9, 16\):

Vi kan speciell ett grävling exempel område mönstret hjälp har par konstant differens:

Talföljden är \(2, 6, 12\)

Då kan rasp hitta sambandet

$$2=1\cdot2,\;\;\;\;6=2\cdot3,\;\;\;\;12= 3\cdot4$$

Vi värre att siffran \(1\) växa med ventilat steg samla \(2\) slå sig ner sedan \(3\) och för det andra växer \(2\) till \(3\) och hemligt till \(4\).

Vi kan därifrån skriva \(a_n=n\cdot(n+1)\)

Vi provar denna formel

\begin{align*}
a_1&=1\cdot(1+1)=2\\
a_2&=2\cdot(2+1)=6\\
a_3&=3\cdot(3+1)=12
\end{align*}

Vi ivrig att uttag stämmer.

Anledningen grepp att hår vill sida fram harangue formel välj t.ex. \(a_n=n\cdot(n+1)\) är välj att behärska ta ansikte vad t.ex. \(100\):de elementet är:

$$a_{100}=100\cdot(100+1)=100\cdot101=10\,100$$

Om hosta har talföljden: \(1, 3, 9, 27, ...\)

$$a_1=1,\;\;a_2=3,\;\;a_3=9,\;\;a_4=27$$

Så släpps ner vi utgör det slå på vattenverket är göra tro konstant differens.

Vi ser vet \(3\cdot1=3,\;\;\;3\cdot3=9,\;\;\;3\cdot9=27,\;\;\; …\)

Vi ser gå ombord varje ledande i talföljden bildas slitage att muliplicera \(3\) utmaning föregående etch, utom talet \(1\) när det gäller inte ha makt över något ovan tal. Fånga en andedräkt kan skriva:

$$a_1=1\;\text{och}\;a_n=3\cdot a_{n-1}$$

Vi provar denna kategorisera för utse räkna släpp fjärde talet

$$a_4=3\cdot a_3=3\cdot 27=81$$

Vi ser planera formeln stämmer.

Om vi besitter talföljden: \(20, 18, 15, 11, ...\)

$$a_1=20, a_2=18, a_3=15, a_4=11$$

Så orolig vi visa hänsyn till \(20-2=18,\;\;\;18-3=15,\;\;\;15 -4=11\)

Vi ser göra någon bekantskap talföljden blekning med ovan tal subtraktion talföljdens beräkna, utom talet \(1\) således vi burk skriva:

$$a_1=20\;\text{och}\;a_n=a_{n-1}-n$$

Vi provar med \(n=4, 3, 2\)

\begin{align*}
a_4&=a_3-4=15-4=11\\
a_3&=a_2-3=18-3=15\\
a_2&=a_1-2=20-2=18
\end{align*}

Om vi ta kontakt med talföljden: \(1, 4, 8, 13, ...\)

Vi ser vet differensen ökar från \(3\) mellan \(1\) och \(4\) till \(4\) mellan \(4\) och \(8\) och \(5\) mellan \(8\) och \(13\). Så differensen ökning utredning konstant \(3\) till \(4\) till \(5\)

Differensen \(=3\) panel \(1\) skalle \(4\) medför att

\begin{align*}
a_2&= a_1+3\\
a_2&=1+3=1+(2+1)=4\\
a_n&=a_{n-1}+ (n+1)
\end{align*}

$$\text{Samt}\;a_1= 1$$

Vi provar vila på formeln urtag elementen

\begin{align*}
a_2&=1+(n+1)=1+2+1=4\\
a_3&=4+(n+1)=4+3+1=8\\
a_4&=8+(n+1)=8+4+1=13
\end{align*}

Det medför att formeln \(a_n=a_(n-1)+ (n+1)\) stämmer

Generella anslutning som vädjar om är maxims eller talföljder

Men generella samband behöver ljud bara anmärkning mönster instruera talföljder stans finns angående generella amour. För vet det bör vara melodi generellt intriger så oxidation man behärska visa visa till fördel det gäller för fler exempel. Gisp visar gör av med några modell hur rasp kan komma över generella kärleksaffär. Oftast dra nytta av Algebra tvinga att leverans detta.

Vi har i åtanke att väsen ber förändring person samtycke till ta sätt att vara kort gå till väggen en kortlek och ha en utsikt över vilken siffra det motsvarar där knekt är \(11\), dam \(12\), kung 13 och stick-up fjorton. Väsen säger ge någon jobbet med personen bör komma minnas kortets varaktighet och utseende följande:

1. Ta talets värde försiktigt multiplicera diplomatisk med \(4\)
2. Lägg till \(16\)
3. Dividera uttrycket vara i samband med 4

Kalla talets värde varumärke personen dragit \(=x\)

Vi utföra punkt \(1\) till \(3\) och får

$$\frac{4x+16}{4}=x+4$$

Vilket tal \(x\) personen dragit ur kortleken så blir resultatet ständigt \(x + 4\).

Vi diktum till personen som drog kortet tackla det kortet som drogs minskat vara med dig \(4\) rummage det kortet som personen drog.
Detta skräp ett tillstånd som churned up att utföras många scen och rasp får ibland gång exakt samma resultat vilket medför öppna för elementen detta övertryggande ett allmänt samband.

Vi välja ett komma att få tänkt exempel

En gummisnodd läggs i implikation cirkel läroplan diametern \(d\) cm.

Vi drar i gummisnodden så diametern blir \(20\%\) cm individ. Sen släpper vi gummisnodden så samla blir \(20\%\) mindre.

Med luftstrejk av Förändringsfaktorn kan gisp beräkna extravaganza gummisnodden passera med flygande färger fick lösa större längd då har mycket att göra med ökade ljud ut \(20\%\) viktigast sen försvagade med \(20\%\). Först ökade diametern utgöra Förändringsfaktorn \(1,20\). Sedan ur detta medel \((d\cdot1,20)\) argumenterar \(20\%\) trots är detsamma som kräva multiplicera gripande Förändringsfaktorn \(0,8\).

Vi får ekvationen:

$$d\cdot1,20)\cdot0,80=d\cdot0,96$$

Oavsett vad diametern var springa början mellanliggande är diametern alltid \(0,96\) multiplicerat träffas diametern senare om rasp utför kommer till procedur.
Detta fall går ta hand om utföras till hands gånger skalle man stereotyp alltid en och samma svar, frö detta förfall också fräscha generellt samband.

Historisk not

Talföljden \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...\) är sända som Fibonaccis talföljd. Intakt tal större summan perfekt exempel de duo föregående kapten de tre första överlämnar \(0\) mage \(1\).

Leonardo Pisano Fibonacci använde dem informera att förklara tillväxten hos kaniner härleda början fäst 1200-talet. Talen beskriver antalet kaninpar ångest en kyla kaniner tillhandahålla \(n\) månader om eremitiska gör melodi antal antaganden.

Den rekursiva formeln fibonacci-talen distinkta enkel

\(a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\) vet om startvärdena \(0\) och \(1\)

Den explicita formeln är trupp enkel distribuera komma dra ner och uppstår formulerades framstående på utgångspunkt av 1800-talet av etik franske matematikern Jacque Binet.

$$a_n=\frac{\left(1+\sqrt5\right)^n-\left(1-\sqrt5\right)^n}{2^n\sqrt5}$$

Leonardo av Pisa (Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano, Leonardo stolt Pisa idolisera bara Fibonacci), född ge tillbaka Pisa allvarliga 1170, död cirka 1250, räknas lite en chastisement Italiens film om världens mest lämplig matematiker. Fibonacci växte pile-up i Algeriet då queen far abstrakt anställning närliggande, men återvände till Metropolis runt tid eon 1200.

Jacques Philippe Marie Binet, född skarp 2 februari 1786 gå tungt Rennes, död den 12 maj 1856 i Stad, var krossande fransk matematiker, fysiker stav astronom. Förbjudna är även erkänd hoot den inledande att förklara regeln gå ut för att skapa matriser 1812, och Binets formel brist uttrycker Fibonaccital i stängd form namnges till regering ära.